Des équations différentielles aux systèmes dynamiques II
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| Des équations différentielles aux systèmes dynamiques II |
Des équations
différentielles aux
systèmes dynamiques II
Introduction 1
1.1 Modélisation d’évolutions par champs de vecteurs et itérations 1
1.2 Équivalences entre systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Un survol des propriétés des systèmes dynamiques . . . . . . . 8
1.4 Exemples de systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Plan du tome 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Généricité et transversalité 23
2.1 Germe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Topologie sur les espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Convergence de classe Ck sur les ouverts euclidiens . . 24
2.2.2 Généralisation aux variétés . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 La notion de généricité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Le lemme fondamental de transversalité . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Le théorème de transversalité de Thom . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.1 Le cas euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.2 Formulation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 Exemples de propriétés génériques . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7 Remarques finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.7.1 Intérêt et limite du théorème de transversalité . . . . 52
2.7.2 Topologie de Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7.3 Notion de singularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Étude locale des singularités hyperboliques 59
3.1 Points singuliers et points fixes hyperboliques . . . . . . . . . . 59
3.2 Champs et difféomorphismes linéaires hyperboliques . . . . . . 62
Des équations différentielles aux systèmes dynamiques
3.2.1 Champs contractants et contractions hyperboliques 65
3.2.2 Cas général d’un point de selle linéaire . . . . . . . . 70
3.3 Variétés invariantes locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.1 Variétés invariantes locales pour les difféomorphismes 74
3.3.2 Variétés invariantes locales pour les champs
de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4 Le λ-Lemma de Palis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.4.1 Quelques estimations préalables . . . . . . . . . . . . 83
3.4.2 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4.3 Énoncés et preuves du λ-Lemma . . . . . . . . . . . . 88
3.5 Feuilletages invariants locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.5.1 Le cas des champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . 96
3.5.2 Le cas des difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . 99
3.6 Linéarisation topologique locale . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.7 Variétés invariantes globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4 Systèmes dynamiques structurellement stables 111
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2 Stabilité structurelle locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3 Stabilité des champs en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4 Stabilité structurelle des champs sur les surfaces de genre 0 . . 118
4.5 Stabilité structurelle des champs sur les surfaces de genre ≥ 1 125
4.5.1 Champs de vecteurs du tore T 2 sans singularités . . . 125
4.5.2 Le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.6 Les systèmes de Morse-Smale généraux . . . . . . . . . . . . . 137
4.7 Les ensembles hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.7.1 Le fer à cheval de Smale . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.7.2 Généralités sur les ensembles hyperboliques . . . . . . 156
4.7.3 Quelques autres exemples de systèmes hyperboliques 159
4.8 Au-delà de la stabilité structurelle . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.8.1 Non-généricité de la stabilité structurelle . . . . . . . 163
4.8.2 Attracteurs non hyperboliques . . . . . . . . . . . . . 165
5 Les bases de la théorie des bifurcations 167
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.2 Premiers exemples de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.3 Déploiements versels pour les singularités . . . . . . . . . . . . 179
5.4 Réduction à une variété centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.4.1 Champs de vecteurs et difféomorphismes . . . . . . . 188
iv
Table des matières
5.4.2 Déploiements de champs de vecteurs
et de difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.5 Déploiements de type selle-nœud . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.5.1 Déploiements de type selle-nœud sur R . . . . . . . . 192
5.5.2 Déploiements de type selle-nœud sur R2 . . . . . . . . 196
5.6 Formes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.6.1 Formes normales pour les champs de vecteurs . . . . . 198
5.6.2 Formes normales pour les déploiements de champs . . 205
5.6.3 Formes normales pour les difféomorphismes . . . . . . 206
5.7 Bifurcations de Hopf-Takens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.7.1 Digression sur les homéomorphismes de R+ . . . . . . 209
5.7.2 Démonstration du théorème 5.14 . . . . . . . . . . . . 214
5.7.3 Caractérisation des déploiements versels . . . . . . . . 217
6 Compléments théorie des bifurcations 225
6.1 Désingularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.1.1 Désingularisation des germes de champs de vecteurs
en 0 ∈ R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.1.2 Désingularisation des déploiements de champs
de vecteurs en 0 ∈ R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.2 La bifurcation de Bogdanov-Takens . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.3 Déploiements de champs en dimension 2 . . . . . . . . . . . . 243
6.3.1 Singularités de codimension ≤ 2 . . . . . . . . . . . . 245
6.3.2 Sous-filtrations particulières . . . . . . . . . . . . . . . 246
6.3.3 Singularités de codimension ≤ 3 . . . . . . . . . . . . 247
6.4 Déploiements d’orbites périodiques et polycycles . . . . . . . . 248
6.4.1 Bifurcation des orbites périodiques . . . . . . . . . . . 250
6.4.2 Connection de selle de codimension 1 . . . . . . . . . 251
6.4.3 Déploiements génériques de polycycles hyperboliques 256
6.4.4 Connection de selle de codimension quelconque . . . . 256
6.4.5 Autres résultats sur les bifurcations de polycycles . . 258
6.5 Bifurcations globales sur la sphère . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.5.1 Le problème de la cyclicité finie . . . . . . . . . . . . 260
6.5.2 Le seizième problème de Hilbert infinitésimal . . . . . 265
6.5.3 Difficulté d’une théorie de bifurcation globale . . . . . 271
7 Le système de Lorenz 275
7.1 Les équations de la convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
7.2 Formulation et approximation variationnelles . . . . . . . . . . 277
7.3 Considérations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
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7.4 Hypothèses du modèle et fonctions de base . . . . . . . . . . . 281
7.4.1 Les conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7.4.2 Construction modale des fonctions ψ et θ . . . . . . . 283
7.5 Le modèle de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
7.6 Étude partielle du modèle de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . 287
7.6.1 Propriété de confinement du flot de Xa,b,r . . . . . . . 287
7.6.2 Étude des points singuliers de Xa,b,r . . . . . . . . . . 289
7.6.3 Sous-criticité de la bifurcation de Hopf
et comportement du modèle pour r > r0 . . . . . . . . 299
Bibliographie 309
Index 3
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